Aproveitando que estamos ainda em PG no cursinho, vamos aprender um método genérico de cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica. Além disso, tratei de um exemplo famoso desse tipo de aplicação há alguns posts (aqui).
Em primeiro lugar, devemos lembrar o que estamos procurando. Se lembrarmos que as dízimas não-periódicas são números irracionais, devemos imaginar - de maneira correta - que as dízimas periódicas são racionais. E, pela definição de racional, pertence ao conjunto dos números racionais qualquer número que possa ser escrito em forma de fração de números inteiros. A geratriz de uma dízima periódica é justamente a fração que gera a dízima em questão.
Vamos imaginar então um número qualquer na forma:
Tomemos como certo que os algarismos A, B, C e D não se repetem e os n algarismos seguintes se repetem infinitamente. Temos então n algarismos se repetindo.
Vamos inicialmente separar o número em duas partes.
Sabemos que a primeira parte ABC,D é racional e equivalente à fração ABCD/10. Vamos então agora nos ater em encontrar a geratriz da parte periódica do número.
Podemos então desmembrar esse número em “blocos” que se repetem.
Ou, com um exemplo numérico:
E agora é que enxergamos a PG. Os termos da soma da equação anterior formam uma progressão geométrica de razão . Sabemos então o primeiro termo da PG e sua razão. Podemos calcular a soma dos seus infinitos termos pela fórmula (cuja indicação de dedução pode ser observada no material em pdf).
Multiplicando a fração encontrada por 10 elevado ao maior número de casas decimais dentre numerador e denominador encontramos então uma fração de dois números inteiros. Para concluir então fazemos a soma dessa fração com a parte não periódica encontrada antes e simplificamos a fração à sua forma irredutível.
Difícil? Voltemos ao exemplo numérico. Digamos que de início tenhamos a dízima:
Dividimos entre a parte que se repete e a que não se repete.
A primeira parte é muito facilmente transformada em fração.
E a segunda parte nós dividimos nos blocos repetidos.
As parcelas da soma são termos de uma PG de ordem 0,00001. Ou seja, sabendo uma parcela, para chegar à próxima basta multiplicar a sabida por 0,00001 (ou dividir por 100000). Podemos calcular essa soma infinita.
Concluindo o cálculo da geratriz somamos essa fração à parte não periódica.
Pronto, encontramos a fração geratriz da dízima periódica. Para complementar, simplificamos a fração, mas não é possível nesse caso, já que numerador e denominador são primos entre si ou, em outras palavras, mdc(2918273,999990)=1.
Achou difícil? Note que esse exemplo numérico foi uma tentativa proposital de uso do mais complexo caso possível. Em todo caso, a sessão CONTATO e o campo de comentários servem pra isso mesmo.
