Exercício interessante de Álgebra

Interessante exercício de Álgebra que estava como exercício extra numa prova do professor Eliezer Batista que eu acabei de fazer. Vou colocar aqui a minha resolução e quando confirmar se é isso mesmo eu digo aqui, mas creio que está certo. Coloco o exercício aqui pela engenhosidade da resolução possível. Clique em (more…) para ver.

Enunciado: Sejam m e n inteiros tais que mdc(m,n)=1. Prove que +=Z.

Provarei incialmente que + é um ideal em Z. Para começar, sabemos que e são inteiros. Logo, + é também inteiro. Assim, sabemos que o conjunto + está contido em Z.

Tomemos x e y pertencentes a +. Sabemos então que x e y são na forma:

Provarei então que x-y pertence a +.

Dado um k inteiro qualquer, provarei que kx pertence ao cadidato a ideal.

Como estamos trabalhando nos inteiros, e esse é um anel comutativo, acabamos de provar que + é um ideal em Z. Sabemos, por outro lado, que todo ideal em Z é principal, ou seja, gerado por um inteiro. Vamos supor que nosso ideal é gerado pelo inteiro g.

Sabemos que m e n pertence ao ideal. Então:

Sabemos então que g divide m e n ao mesmo tempo. Mas se mdc(m,n)=1, então g=1. Mas o gerado por 1 e, por outro lado, o conjunto dos número inteiros.