Como o meu radar do WordPress - muito eficiente, por sinal - andou acusando muitas buscas que acabam aqui por causa do meu post sobre o método de conseguir a dízima periódica por progressões, vou dar uns exemplos objetivos e claros pra que fique bem tranqüilo. Tente resolver e clique em (more…) para ver as respostas.

Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas a seguir:

1. 0,3333…
2. 2,532532532…
3. 43,09999…

>> 0,3333…

Primeiro passo: separar a parte que não se repete. Não precisamos fazer, já que apenas o zero não faz parte da repetição.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

>> 2,532532532…

Primeiro passo: separar a parte que não ser repete. Não temos nenhum algarismo não nulo que não participa da repetição.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

>> 43,09999…

Primeiro passo: separar a parte que não ser repete.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

Quinto passo: unir as partes periódica e não-periódica.

Geratriz de dízima periódica por PG

Aproveitando que estamos ainda em PG no cursinho, vamos aprender um método genérico de cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica. Além disso, tratei de um exemplo famoso desse tipo de aplicação há alguns posts (aqui).

Em primeiro lugar, devemos lembrar o que estamos procurando. Se lembrarmos que as dízimas não-periódicas são números irracionais, devemos imaginar - de maneira correta - que as dízimas periódicas são racionais. E, pela definição de racional, pertence ao conjunto dos números racionais qualquer número que possa ser escrito em forma de fração de números inteiros. A geratriz de uma dízima periódica é justamente a fração que gera a dízima em questão.

Vamos imaginar então um número qualquer na forma:

Tomemos como certo que os algarismos A, B, C e D não se repetem e os n algarismos seguintes se repetem infinitamente. Temos então n algarismos se repetindo.

Vamos inicialmente separar o número em duas partes.

Sabemos que a primeira parte ABC,D é racional e equivalente à fração ABCD/10. Vamos então agora nos ater em encontrar a geratriz da parte periódica do número.

Podemos então desmembrar esse número em “blocos” que se repetem.

Ou, com um exemplo numérico:

E agora é que enxergamos a PG. Os termos da soma da equação anterior formam uma progressão geométrica de razão . Sabemos então o primeiro termo da PG e sua razão. Podemos calcular a soma dos seus infinitos termos pela fórmula (cuja indicação de dedução pode ser observada no material em pdf).

Multiplicando a fração encontrada por 10 elevado ao maior número de casas decimais dentre numerador e denominador encontramos então uma fração de dois números inteiros. Para concluir então fazemos a soma dessa fração com a parte não periódica encontrada antes e simplificamos a fração à sua forma irredutível.

Difícil? Voltemos ao exemplo numérico. Digamos que de início tenhamos a dízima:

Dividimos entre a parte que se repete e a que não se repete.

A primeira parte é muito facilmente transformada em fração.

E a segunda parte nós dividimos nos blocos repetidos.

As parcelas da soma são termos de uma PG de ordem 0,00001. Ou seja, sabendo uma parcela, para chegar à próxima basta multiplicar a sabida por 0,00001 (ou dividir por 100000). Podemos calcular essa soma infinita.

Concluindo o cálculo da geratriz somamos essa fração à parte não periódica.

Pronto, encontramos a fração geratriz da dízima periódica. Para complementar, simplificamos a fração, mas não é possível nesse caso, já que numerador e denominador são primos entre si ou, em outras palavras, mdc(2918273,999990)=1.

Achou difícil? Note que esse exemplo numérico foi uma tentativa proposital de uso do mais complexo caso possível. Em todo caso, a sessão CONTATO e o campo de comentários servem pra isso mesmo.

A mais famosa dízima periódica

Provarei aqui facilmente que 0,999999… (infinitos 9 depois da vírgula) é igual a 1. Não aproximadamente e nem estimado, mas IGUAL a 1. São o mesmo número, a mesma quantidade.

Para começar, vamos chamar o número em questão de x.

Assim, fácil ver que:

E assim temos um sistema de duas equações e uma incógnita. Subtraindo a primeira equação da segunda teremos:

Não se convenceu? Podemos também provar o mesmo por PGs. Incialmente, vamos decompor o número.

Temos então o número como sendo a soma de infinitos termos de uma PG decrescente. Cada parcela da soma é um termo da progressão.

Temos uma fórmula para o cálculo dos infinitos termos de uma progressão geométrica, é com ele que resolveremos o problema. Caso deseje ver a dedução da fórmula, consulte o material em PDF.

Note que em nenhum dos resultados obtivemos o sinal de equivalente ou aproximadamente. Os número são realmente iguais!