Novo Tipo10

Novo site e nova era. Agora a sala já está funcionando, tudo certinho, e os novos usuários e alunos já estão aparecendo.

Relação de Secantes

Muito sono, um pouco de pressa e uma certa dificuldade de concentração num processo seletivo me fizeram não resolver um exercício que seria facilmente aniquilado com essa relação simples. Aí tava pensando numa demonstração pra isso, será que é muito difícil? Quando tiver um tempinho penso em alguma coisa e posto de volta. Aceito sugestões.

OBM 2008 - Primeira Fase - Nível 3 - Exercício 13

Segue a minha resolução desse exercício, diferente da divulgada no gabarito da OBM. Tá um pouquinho bagunçado, mas eu explico qualquer dúvida.

Segue então o gráfico da função:

E, como temos oito argumentos para f(x)=0, teremos 8 raízes para o sistema proposto.

À procura

Pedindo desculpas pelo quase mês inteiro sem postar, explico que acabei o curso em Florianópolis e me mudei de volta pra São Paulo, onde penso que meu umbigo deve estar mesmo enterrado.

Tirando todas as chatices necessárias - vide pintura do quarto, mudança, arrumação, etc - me encontro ainda na busca por um emprego na capital paulista o mais perto possível da minha casa. Sinto dizer que permanecerei um pouco ausente, pelo menos por enquanto.

E estou, claro, aberto a propostas e sugestões.

Mais um pouco de OBM

Muita gente tem entrado em contato perguntando quanto eu acho que serão as notas de corte da primeira fase da OBM 2008. Isso vai ser difícil de dizer, mas o que dá pra dizer é que ano passado foram as seguintes:

• Nível 1: 8 acertos
• Nível 2: 12 acertos
• Nível 3: 12 acertos

Obviamente não dá pra ter certeza, mas já é algo para os mais afobados terem uma idéia.

OBM 2008 - Primeira Fase Nível 3

Mais um gabarito não-oficial. Como o cansaço e a dificuldade dessa prova são bem maiores, deixo para terminar amanhã. Lembrando mais uma vez que eu fiz as questões sem nem conferir os resultados, então existem grandes chances de haver erros.

1. D
2. A
3. D
4. D
5. D
6. C
7. B
8. C
9. E
10. A ou B
11. D
12. B
13. E
14. D
15. C
16. C
17. B
18. B
19. C
20. E
21. B
22. C
23. B
24. D
25. D

EDIT: As respostas em itálico são as que eu não tinha feito até sair o gabarito oficial.

OBM 2008 - gabaritos da primeira fase

Acertei todas do nível um, errei uma do nível 2 e uma do nível 3 (já corrigidas abaixo). Boa média, não? As duas que estavam erradas assim o estavam por distração na leitura da questão e eu já corrigi, mas vou deixar os meus não-oficiais ali em baixo de qualquer forma para registro.

O que dá pra adiantar é que a prova de ensino médio estava bem mais ponderada do que as últimas e que as de nível 1 e 2 seguiram a mesma linha dos últimos anos. Comentarei algumas questões assim que possível.

E, claro, aqui estão os links para os oficiais:

Nível 1 - Nível 2 - Nível 3

OBM 2008 - Primeira Fase Nível 2

Taí o que eu fiz até agora. Novamente lembrando que essa é a minha primeira execução dos exercícios, nem conferi os processos. Corrigirei possíveis erros e comentarei alguns exercícios assim que possível.

1. D
2. C
3. C
4. D
5. C
6. B
7. E
8. C
9. C
10. D
11. A
12. D
13. C
14. E
15. E
16. A
17. A
18. B
19. C
20. C
21. B
22. B
23. B
24. B
25. E

OBM 2008 - Primeira Fase Nível I

Graças à ajuda de uma muito querida ex colega, estou com as três provas da OBM do sábado e, já que não saiu o gabarito oficial, adianto o meu gabarito não oficial da prova de Nível I, para sexto e sétimo anos. Vou corrigindo e comentando conforme a minha disponibilidade.

1. A
2. C
3. B
4. A
5. C
6. E
7. B
8. C
9. E
10. D
11. C
12. E
13. C
14. D
15. C
16. C
17. C
18. D
19. C
20. E

Pi

Max é um homem brilhante e atormentado, que está prestes a fazer a mais importante descoberta de sua vida: decodificar o padrão numérico por trás do mercado de ações. À medida que vai se aproximando da solução, o caos vai engolindo o mundo à sua volta. Ele é perseguido por uma agressiva firma de Wall Street determinada à dominação financeira, bem como por uma seita que tem a intenção de desvendar os segredos por trás de seus antigos textos sagrados.

[sinopse tirada do cineplayers]

Excelente filme de 1998 do diretor Darren Aronofsky (mesmo de Réquiem for a dream). Ganhou, entre outros prêmios, o Sundance Film Festival. Taí o trailer pra quem se interessar. Preste atenção à trilha sonora!

Procura-se uma prova olímpica

Hoje foi a primeira prova da Olimpíada de Matemática e eu passei os últimos minutos procurando a prova que aparentemente ainda não está disponível na internet.

Se alguém souber onde achar a prova pra eu comentar aqui, peço encarecidamente a indicação. Enquanto isso só adianto a única opinião que já ouvi de que a prova de ensino médio estava ótima.

Sigo aguardando e procurando.

Exercício de fatorial [post editado]

(FGV) A expressão , é igual a:

Valendo um chocolate no cursinho, é isso? Taí o exercício, do vestibular da FGV, simplificação de expressões com fatorial. Lembrando que vale um esboço de uma resposta até segunda 0:01 e só ganha apresentando a resolução correta.

GAME OVER!!!

Que foi isso, pessoal? Exercício facílimo, ninguém fez só porque eu disse que era difícil? Voltamos àquilo de não poder se assustar com o exercício. A mesma receitinha de sempre, segredo nenhum.

Acumulo o prêmio pra próxima.

GeoGebra - Tutorial em Vídeo - Aula 4

Assuntos: Ferramentas de visualização; seletores; translação de funções do eixo x por meio da função f(x+a).

Exercício interessante de Álgebra

Interessante exercício de Álgebra que estava como exercício extra numa prova do professor Eliezer Batista que eu acabei de fazer. Vou colocar aqui a minha resolução e quando confirmar se é isso mesmo eu digo aqui, mas creio que está certo. Coloco o exercício aqui pela engenhosidade da resolução possível. Clique em (more…) para ver.

Enunciado: Sejam m e n inteiros tais que mdc(m,n)=1. Prove que +=Z.

Provarei incialmente que + é um ideal em Z. Para começar, sabemos que e são inteiros. Logo, + é também inteiro. Assim, sabemos que o conjunto + está contido em Z.

Tomemos x e y pertencentes a +. Sabemos então que x e y são na forma:

Provarei então que x-y pertence a +.

Dado um k inteiro qualquer, provarei que kx pertence ao cadidato a ideal.

Como estamos trabalhando nos inteiros, e esse é um anel comutativo, acabamos de provar que + é um ideal em Z. Sabemos, por outro lado, que todo ideal em Z é principal, ou seja, gerado por um inteiro. Vamos supor que nosso ideal é gerado pelo inteiro g.

Sabemos que m e n pertence ao ideal. Então:

Sabemos então que g divide m e n ao mesmo tempo. Mas se mdc(m,n)=1, então g=1. Mas o gerado por 1 e, por outro lado, o conjunto dos número inteiros.

Como o meu radar do WordPress - muito eficiente, por sinal - andou acusando muitas buscas que acabam aqui por causa do meu post sobre o método de conseguir a dízima periódica por progressões, vou dar uns exemplos objetivos e claros pra que fique bem tranqüilo. Tente resolver e clique em (more…) para ver as respostas.

Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas a seguir:

1. 0,3333…
2. 2,532532532…
3. 43,09999…

>> 0,3333…

Primeiro passo: separar a parte que não se repete. Não precisamos fazer, já que apenas o zero não faz parte da repetição.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

>> 2,532532532…

Primeiro passo: separar a parte que não ser repete. Não temos nenhum algarismo não nulo que não participa da repetição.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

>> 43,09999…

Primeiro passo: separar a parte que não ser repete.

Segundo passo: decompor nos blocos que se repetem.

Terceiro passo: identificar os elementos da PG.

Quarto passo: usar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG decrescente.

Quinto passo: unir as partes periódica e não-periódica.

GeoGebra - Tutorial em Vídeo - Aula 3

E o som bem melhor a partir de agora.

[youtube=http://www.youtube.com/watch?v=6G5gFryM2HE]

Assunto: Visualização gráfica do Teorema de Pitágoras.

Geratriz de dízima periódica por PG

Aproveitando que estamos ainda em PG no cursinho, vamos aprender um método genérico de cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica. Além disso, tratei de um exemplo famoso desse tipo de aplicação há alguns posts (aqui).

Em primeiro lugar, devemos lembrar o que estamos procurando. Se lembrarmos que as dízimas não-periódicas são números irracionais, devemos imaginar - de maneira correta - que as dízimas periódicas são racionais. E, pela definição de racional, pertence ao conjunto dos números racionais qualquer número que possa ser escrito em forma de fração de números inteiros. A geratriz de uma dízima periódica é justamente a fração que gera a dízima em questão.

Vamos imaginar então um número qualquer na forma:

Tomemos como certo que os algarismos A, B, C e D não se repetem e os n algarismos seguintes se repetem infinitamente. Temos então n algarismos se repetindo.

Vamos inicialmente separar o número em duas partes.

Sabemos que a primeira parte ABC,D é racional e equivalente à fração ABCD/10. Vamos então agora nos ater em encontrar a geratriz da parte periódica do número.

Podemos então desmembrar esse número em “blocos” que se repetem.

Ou, com um exemplo numérico:

E agora é que enxergamos a PG. Os termos da soma da equação anterior formam uma progressão geométrica de razão . Sabemos então o primeiro termo da PG e sua razão. Podemos calcular a soma dos seus infinitos termos pela fórmula (cuja indicação de dedução pode ser observada no material em pdf).

Multiplicando a fração encontrada por 10 elevado ao maior número de casas decimais dentre numerador e denominador encontramos então uma fração de dois números inteiros. Para concluir então fazemos a soma dessa fração com a parte não periódica encontrada antes e simplificamos a fração à sua forma irredutível.

Difícil? Voltemos ao exemplo numérico. Digamos que de início tenhamos a dízima:

Dividimos entre a parte que se repete e a que não se repete.

A primeira parte é muito facilmente transformada em fração.

E a segunda parte nós dividimos nos blocos repetidos.

As parcelas da soma são termos de uma PG de ordem 0,00001. Ou seja, sabendo uma parcela, para chegar à próxima basta multiplicar a sabida por 0,00001 (ou dividir por 100000). Podemos calcular essa soma infinita.

Concluindo o cálculo da geratriz somamos essa fração à parte não periódica.

Pronto, encontramos a fração geratriz da dízima periódica. Para complementar, simplificamos a fração, mas não é possível nesse caso, já que numerador e denominador são primos entre si ou, em outras palavras, mdc(2918273,999990)=1.

Achou difícil? Note que esse exemplo numérico foi uma tentativa proposital de uso do mais complexo caso possível. Em todo caso, a sessão CONTATO e o campo de comentários servem pra isso mesmo.

TCC - Modelagem Matemática

Último gráfico do modelo que é tema do meu trabalho de conclusão de curso. Bonito, não? Voltarei ainda muito em breve a falar de Modelagem Matemática, isso é só pelo gostinho mesmo (e pela falta de tempo para um subject mais atrativo).

GeoGebra - Tutorial em Vídeo - Aula 2

Peço novamente desculpas pela qualidade sofrível do som.

[youtube=http://www.youtube.com/watch?v=QHowmb7-JsA]

Assunto: Definição de pontos.

Devido aos pedidos recebido inclusive por e-mail vou dar início a esse tutorial em forma de série de vídeo-aulas. Perdoem a falta de qualidade do som e da minha edição de vídeo. Aceito sugestões de temas para as próximas.

[youtube=http://www.youtube.com/watch?v=AihfkkmyVOs]

Assunto: Algumas ferramentas simpels de visualização; alteração da proporção de visualização dos eixos.